一次作业评讲中的研究性学习

湖北省云梦县梦泽高中   周晓文
     
这是一次作业中的一道题:
问题：是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由：
（1） 渐近线为x+2y=0及x-2y=0;
（2） 点A（5，0）到双曲线上动点P的距离的最小值为 .
这是一道流传较广的试题, 题目综合性较强，对学生的能力要求较高. 不出所料，作业收上来后，能够完整做对的学生为数寥寥. 然而我又欣喜地看到，尽管有些学生还不能完整地解决，但是如果循着学生的思路对此题进行重新审视，发现只要发动学生对这些思路进行评判、再探索，这其实是一个很好的研究性学习素材. 于是我专门用了一节课对此题作了评讲.
我先出示了学生T对此题的部分解答：
解：当双曲线焦点在x轴上时（焦点在y轴上的情况他还未考虑出），易知双曲线的右顶点到点A的距离最短.
由双曲线渐近线为 , 可设双曲线方程为 (b>0).
  双曲线的右顶点为（2b,0）,
    .    故 .
因此这样的双曲线存在，且其方程为： .
尽管是部分解答，却也够“简洁”了！当同学们看完解答后，一时竟没有学生提出疑议——显然，他们也认为解答中用到的一个“事实”：双曲线的右顶点到点A的距离最短无疑是正确的. 经过一番思索后，终于有思维慎密、严谨的同学对此提出了置疑，然而他也一下子拿不出什么根据. 这时我适时地启发道，数学讲求的是严密，有时光凭猜测、估计，还不能揭示数学现象的本质特征，这个问题中，究竟是不是双曲线的右顶点到点A的距离最短，并不是“易知”的，它还需要我们的精确论证. 那么，我们能否对此问题作一研究呢？
同学们一个个情绪高涨，跃跃欲试. 不久，几个成绩较好的学生拿出了他们的研究成果：设双曲线方程为 （ > >0）， A(m,0)(m>0)为x轴正半轴上一点，设P（x,y）为双曲线上任一点，其中 .
则
      =
      =
      = .
（1） 若 ≥ ，亦即 ≥ ，
则当 时， 最小.
（2） 若  即0< < ，亦即 < ，
则当 时，      最小.
至此问题已得到解决，当点A的横坐标 满足0< < 时，双曲线的右顶点到点A的距离最短（此时点A有可能在右顶点左侧，也有可能在右顶点右侧，在右顶点右侧时 < < ）;当 ≥ 时，双曲线上有两点到点A的距离最短（其横坐标均为 .
依据此结果重新审视学生T的解答，可知答案 是正确的，而当 时，点A在双曲线右顶点右侧，若右顶点到点A距离最短，则必须满足 < < ，而检验知此式不成立，故 应舍去.
毕竟是自己研究得到的成果，同学们的兴奋之情溢于言表，这时，我又出示了学生S对此题的解答.
解：假设满足条件的双曲线存在，且设其方程为 ，双曲线上到点A距离最短的点即以点A为圆心、 为半径的圆与双曲线相切时的切点.
联立 ,    消y得： .
  双曲线与圆相切,
   .             = 1.
故满足条件的双曲线存在，且其方程 .
乍一看，学生S的解答是无懈可击的，并且方法简捷、明快，显然，这是在学习了直线与圆锥曲线的位置关系后，学生用判别式讨论圆锥曲线与圆锥曲线位置关系的一个大胆的迁移，如果没有前面的分析作铺垫，我相信几乎所有的学生会认为这个解答是完满的. 但是，正因为有前面对此问题的研究，同学们发现，这个解答刚好是学生S没有研究的情形，而对于双曲线焦点在x轴上时的解，这个解答显然失掉了.
为什么会失去解呢？我不失时机地提出这个问题.
同学们一个个双眉紧蹙，陷入了思