数学课堂的观察与思考
数学课堂的观察与思考
◇ 福建省普通教育教学研究室 王 永
北师大版数学实验教材为我国新一轮基础教育教学改革提供了良好的课程环境：它大大加强了数学与现实生活的紧密联系，使数学成为儿童对其经验、常识的提炼与升华的有力工具；它采取“问题情境——数学模型——解释与应用”的叙述方式，使枯燥乏味的数学变得既有趣又有用；它以实现儿童的发展为宗旨，为他们提供了大量的观察、猜想、思考、操作、验证、自主探索与合作交流的机会，使学生收获自信，感受自尊。我们高兴地看到，学生喜欢学这样的数学，教师也喜欢教它。
为了改变学生的学习方式，实验老师们正在努力探索新的教学策略。先进的教育理念要转化为教学实践，不能没有相应的教学策略作为中介。一种教学策略的优劣，要看它是否考虑到学生的个体差异，是否确能使每个学生都得到充分的发展。教学研究的真谛，就在于寻找这样的教学策略。能够运用新的教学策略的课堂也确实在发生着可喜的变化：一言堂变成了群言堂，多了动感、生机和活力，还时有孩子的真知灼见，语惊四座，让人欣喜不已。但是，问题依然尖锐地摆在我们的面前：学生的个体差异该怎样得到关注?教学的个体化该如何得以加强?弱势学生群体的独立性、自主性的培养和发展，需要什么样的教育环境?如何才能实现“不同的人学习不同的数学”的课程目标?这些深层的、棘手的课题，我们还没有多少破解的良策。于是在对数学课堂的观察与反思中，不断生发出以下的追问。
一、是“说数学”重要，还是“做数学”重要
一位初中老师告诉我，他教初一时，有个一直为学不好数学而苦恼的女孩问他什么叫自然数。他没有说教，只写了一些数让这个孩子把自然数找出来，看她全找对了，就肯定她——已经懂了。这女孩既高兴又惊异地问他：“老师，难道不用背自然数的定义吗?”老师又肯定地回答：“不用。”接着，这个女孩要求老师给她补习一下分数的加减法，直到学会了才罢休。后来，这个女孩判若两人，仿佛治好了心病似的，对数学的恐惧感消失了，不到一年，她的数学成绩从不及格上升到优等生行列。我想，这位老师对学生最重要的也是最有价值的引导，就是“会做数学”比“会说数学”更重要。
从对数学课堂的大量观察中，发现一种普遍的现象：让学生说数学比做数学的机会多得多。这是否本末倒置?存在这种现象的主要原因，是不是在于我们的数学教学过于迷恋集体作业的方式了?呈现一个问题情境后，经常看到的是老师很快就请学生起来作答，这几个学生把问题解决了，似乎就相信全班学生都会了。这就是所谓集体作业的教学方式。老师们之所以喜欢这种教学方式，也许是它既能活跃课堂又便于控制教学节奏和进程吧。可是，苏霍姆林斯基曾经指出：这种方式容易造成“表面的积极性”和“一切顺利”的假象。在这样的方式下，那些中等学生和思维迟钝的学生是否也有独立思考、独立解决问题的体验，我们仍不得而知，我们有理由为他们感到不安。为此，苏霍姆林斯基的重要建议是：要把学生的独立的、个别的作业作为学习数学的基础。
有一节小学一年级数学课，让我难以忘怀。课题是：在学过二位数减一位数不退位减法的基础上，进一步学习二位数减一位数的退位减法。这位老师设计了一个人人都能做数学的情境，开始了师生共同探索的历程。课前，教师为每张课桌都准备了5张卡片，每张卡片上面分别写着2，3，7，-，=。上课伊始，教师就请同桌的两位同学分工合作：一位用这五张卡片摆出所有可能的二位数减一位数的算式，另一位动笔记下所摆的算式，准备汇报。孩子们都动起来了，而且兴致勃勃、热烈地讨论着，紧张地摆着、写着。然后，老师才根据学生的汇报和补充，在黑板上写下所有可能的六道算式：
27-3= 37-2= 73-2=
23-7= 32-7= 72-3=
老师由衷地赞赏学生所进行的探索，接着又提出挑战：我们班是不是每个同学都能独立地心算出这几道算式的结果?请大家把这些算式都抄在自己的本子上，并写出心算的结果；能够算出所有算式的，还要想想该怎样用口头语言表述你的算法步骤；遇到障碍的要找出难点，力争自己克服，或者翻阅课本寻求帮助。显然，老师是在激励孩子发挥自己的学习潜能，并让有差异的孩子去意识、去发现自己的学习目标，使每个学生都有事做。几分钟过去了，老师巡视了全班学生独立学习的情况后，回到讲台，拿起粉笔在黑板上醒目地写下以下两个算式：
32-7=35 32-7=25
“同一个算式，在我们同学中为什么会得出这样两个不同的结果?它们都对?都错?还是一个对一个错呢?”老师把全班学生的目光吸引到黑板上，以一连串的追问激发他们的认知冲突。“今天的挑战是二位数减一位数，如果遇到个位数字不够减时该怎么算?”老师挑明了探索的重点之后，要求小组展开讨论：辨别上述两种计算结果的正误，对的要说出算理，错的要找出错因，课堂顿时又活跃起来。
到了小组汇报时，孩子们踊跃而自信。老师把学生关于32-7=25的多种算法，一一展示在黑板上；并针对32-7=35的错误，请用竖式算法计算这道题的同学说一说竖式算法要注意哪些问题。
老师对课题作了简要的小结后，就让学生用自己喜欢或擅长的算法当堂练习……
这节课始终以做数学为主旋律贯串始终，老师少教学生反而多学，让人感到踏实、放心。老师不断创设有意义的问题情境或数学活动，激励学生自己去做数学，从做中学。在做数学中，人人都必须独立思考，都能够自主探究；在做数学中，人人都可能发现问题，产生合作交流的愿望。在这里，“做数学”真正成为师生互动的基础和纽带，成为课堂发展的原动力。从这里，我们还能体验到：改变“重教轻学”、“重说轻做”的倾向，采取“先学后教”、“先做后说”的教学策略是必要的、有效的。
二、数学课本，让不让学生自己先学
有位在小学、初中数学成绩蛮好的孩子，到了高中却感到学习数学有些困难，成绩在不断下降，于是来找我指点迷津。我猜测他对数学课本可能十分陌生，果然，他说数学课本他从来就没有读过。还说：“学数学就靠听课、记笔记、做习题。”他的问题在于没有学会独立学习，没有摆脱对老师的依赖。苏霍姆林斯基说过：学会学习首先要学会阅读，一个阅读能力不好的学生，就是一个潜在的差生。如果在小学里没有教会他阅读，他日后在学习中就会遇到无法克服的困难。
很多学生在小学没有解决好这个问题，初中也没有。在一堂初中的数学课上，老师讲授了30分钟新课后，留10分钟给学生做练习。老师看到一个学生还在看书，没做练习，就上前催他动笔。学生说：“刚才没听懂，想把书看懂了再做。”老师却撂下一句：“听都听不懂，还想看懂?那简直是奇迹。”可见，在传统观念的禁锢下，老师还有意无意地强化着学生对老师的依赖。数学课本是学生了解世界的窗口和工具，可是，数学老师总是有意无意地挡住这个窗口，甚至整节课也没让学生翻过书，没有意识到必须让学生主动去接触、使用这个工具。这样，学会学习又从何谈起?现代心理学研究表明：任何学习都是学习者自主建构的过程。在这个过程中，离不开学习主体与文本之间的交互作用。有意义的接受学习是自主建构，有意义的发现学习也是自主建构。前者的认知机制是同化，它引起认知结构的量变；后者的认知机制是顺应，它引起认知结构的质变。在学习过程中，既没有绝对的接受学习，也没有绝对的发现学习，总是两者相互交替、有机结合的。在这个过程中，建构主义强调学习者主动接触外界的信息(包括课本)并用自己已有的知识与经验去解读这些信息，从而赋予认识对象以心理意义。因此，课本必须成为学生自己赖以学会学习的文本；一个好的数学老师不是在教数学，而是激励学生自己去学数学。
许多老师都有这样的疑问：课本让学生先读了，还有什么可探究的?其实，建构与探究是学习过程中相辅相成的内外不同的两个维度：对外部世界的探究，在内部精神世界则是建构。探究性学习并不排斥对文本有意义的接受学习，相反，它很需要应用这种学习方式来扩充认知的背景，提高探究的起点，否则，像“四边形”名称之类的知识也要学生去猜想、发现，不仅浪费时间，而且毫无意义。在读书的过程中，要找出疑问进行质疑，对例题既要进行变式，还要解决问题，寻找新的算法，思考知识与知识之间、书本知识与现实生活之间的联系等等，这些无一不是探究性、创造性的学习，也无一不是源于课本又高于课本的建构活动。
让学生先学课本，旨在把独立学习引进教学过程，同时也意味着教师必须把“教”建立在学生“学”的基础之上，不能再充当面面俱到、照本宣科的单纯讲授角色。在学生先学的基础上，教师有针对性地创设问题情境或数学活动，引导学生在质疑、操作、实验、探索中消除假知，获得真知，丰富体验，求得发展，关键还是靠自身的教育底蕴与专业素养。例如，小学数学(人教版第六册)“长方形与正方形面积的计算”一课，学生先学之后，虽然知道“长方形的面积=长×宽”，但他们还是难以理解：长方形的面积与它的长和宽为什么有这样的关系?学生由此产生问题意识和解决这个问题的意向，渴望老师指导。有位老师就处理得很好，他让每个学生都参与到如下的活动中去：由同桌两位学生合作，从课前准备的12个小正方形(每个都表示1平方厘米面积单位)中，任意取出几个，把它们拼成一个长方形后，记下它的面积、长、宽等一组数据。要求每桌先至少拼出5个大小或形状不同的长方形，记下相应的每一组数据；接着集中观察这几组数据，看能否从中发现什么规律；然后再向小组或全班汇报、交流所得到的结论。经历这样的数学“再创造”和交流活动，不但抽象的长方形的面积公式已经具体地根植在儿童的经验之中，无需死记硬背了，而且儿童对发现真理的归纳方法也多了几分体验。
又如，小学五年级“长方体的初步认识”一课，有必要引导学生探究长方体的面、棱、顶点的个数之间的内在联系，思考从长方体面的个数与形状特征出发，如何算出长方体的棱(或顶点)的条(或个)数。寻找这个算法，既有挑战性，又有意义，更是学生经过努力或小组合作能够解决的，只有在探索事物内部规律性的活动中，学生的抽象思维能力才能得到培养和发展；只有抽象思维能力发展了，学生才能探究更复杂的规律，解决更复杂的实际问题。
数学的读写能力作为数学的一种基本能力，已经成为现代社会每个公民必须具备的基本素养；没有这种素养，便不可能自由地分享公共媒体与网络世界的丰富资源，也不可能进行有效的交流。让每个学生先对课本进行独立阅读、思考，进而对课本进行质疑、重组、超越，必须成为数学教学不可或缺的有机组成部分。实践证明：这么做了，不但能满足学生想成为探索者、研究者、发现者的强烈需要，而且正如一个学生说的“自从看懂了数学书，才发现自己并不差，所以又重新鼓起了学习的希望”那样，学生发现自己的学习潜能，找回自信与自尊，开启学习的内驱力，也有了更多的成功机会和可能。
三、不同的学生，怎样才能学习不同的数学
学生的差异是显著的。一位农村初中教师曾作过一次尝试：为了检验一个学期培养学生自主学习的实验成果，进一步了解学生的学习潜力，他布置初一学生的寒假作业，就是要求学生在家超前自学初中代数第二册的第一章——二元一次方程组(包括完成课本中的习题)。短短3周假期结束了，结果令他喜出望外：所教两个班共百余人，90％左右的学生都完成了任务，其中50％左右的学生超额完成，自学了两章，10％左右的学生已经学完了整本书；也有10％左右的学生自学还很困难，没有完成任务。这个结果表明：学生蕴藏着极大的学习潜能，也存在着巨大的个体差异。可想而知，学生对课堂教学的需要与期待也不会一样，甚至很不相同。在一所农村中学初二的数学课堂上，我遇到十几位落伍得无可救药的、因而教师干脆对他们放弃不管的学生。他们呆坐在教室的最后两排，显得一脸无奈和冷漠。我问其中一位学生：“听得懂吗?”“书能看懂吗?”他都摇了摇头。我的心情很沉重，因为对于他们的困境，我无能为力，爱莫能助。教育是成全每一个完整的人生的，可他们却只能在课堂上虚度时光，浪费生命。这一次经历，使我更加关注学生中弱势群体的学习状态。我注意到，即使在小学一年级的数学课堂里，学生参与学习的程度差异也是很明显的：一部分学生争先恐后地应答，表现得很出众，很活跃；但更多的学生或缺乏勇气，或不善言辞，或没有机会，而沦为听众或观众。一次，我悄悄地鼓励坐在身边的一个小女孩子举手争取发言，没想到邻座的男孩抢先说道：“她说她一举手，心脏就跳得厉害。”后来，这女孩终于举起了手，可惜老师没有看到。我突然悟到，这女孩此刻最需要的也许不是知识，而是一次战胜胆怯、超越自己的机会。
让不同的学生学习不同的数学。首先，要为每一个学生创造平等的参与学习的机会。我们之所以认为“先学后教”、“先做后说”很重要，是因为这些教学策略的实施，更可能为所有学生提供平等和有效的学习机会。其次，要创造人人都有自尊、都有安全感的课堂教学氛围，重要的是教师必须学会宽容和善待“差生”。为师者要懂得，就在这些“差生”中，很难保证不会产生出未来的牛顿、爱因斯坦、普希金、华罗庚、钱钟书……在有安全感的课堂里，所有的学生才能敞开心扉，发挥潜能，显露个性和才华。一位年轻的国家课程改革实验区的实验教师来信，高兴地告诉我，他任教的班，数学成绩仍然遥遥领先。在期末问卷调查中，有75％的学生认为数学学习是快乐的，这其中还有一个数学才考30多分的学生。我也特别为这位学生感到高兴和庆幸，因为保护一颗健康、好学、进取的心比什么都重要。
我们深感忧虑的是基础教育学业失败现象的严峻性。美国教育家布卢姆早就尖锐地揭露过，造成学业失败现象的深层原因，就在于以成绩的正态分布曲线为工具，对学生反复进行分等的教学制度本身。在这种分等的制度下，总有大约三分之一的学生因年复一年屡遭学业的挫折、失败，而厌学、逃学或辍学；他们不但心灵被伤害、性格被扭曲，甚至还会被逼到犯罪的边缘，导致严重的社会问题。这决不是危言耸听。某地为了改变教育的落后面貌，曾出台“末位下岗”的奇招：期末统考凡所教班级合格率不达标的教师一律被亮黄牌，被亮过两次黄牌的教师就得下岗。弄得人心惶惶，舞弊成风，结果适得其反。其实，因单纯追求合格率而衍生出弄虚作假现象，在前苏联早有前车之鉴，它曾是前苏联1984年规模巨大的教育改革要克服而没有克服的问题之一。要实现“不同的人学习不同的数学”这一“大众数学”的目标，必须同步进行考试改革，取消国家选拔和水平考试以外的一切统考及其评比，把考试权还给学校；要加强平时教学过程中，对不同学生的学习情感、态度、价值观与学习方式、策略、水平的个性化的考查与评价；对知识、技能、能力的考试，可以设目标水平不同的几种试卷，供学生自主选择，变考试为学生自我挑战、主动进取的机会。
苏霍姆林斯基通过对数学课堂的大量观察、分析，得出有如下五种不同的学生。第一种是无需任何帮助就能很容易地解答任何应用题，教师刚刚读完条件就举手要求回答。对于这些学生，教师还要挑选一些“超纲”的习题，给这些学生以力所能及的、但并不轻松的、要求紧张地动脑的工作；有时候，需要给这些学生布置这样的习题，使其不能独立地解答出来，但是教师给予的帮助是以稍加指点和提示为限。第二种能很好地完成作业，他们是靠付出劳动和用功学习而取胜的学生。第三种能在没有帮助的情况下完成中等难度的习题，但是对复杂的习题有时解不出来。第四种学生对应用题的理解很慢，解答也很慢。他们在一节课上所能完成的作业，要比第二种、第三种学生所做的少一半到三分之二，但是教师无论如何不要催促他们。第五种学生没有能力完成中等难度的习题。教师要为他们专门另选一些题目，始终只能指望他们在一节课上有所进步，哪怕一点点进步也好。“如果教师善于把学生引进一种力所能及的、向他们预示着并且使他们得到成功的脑力劳动中去，就连那些调皮捣蛋的学生也能多么勤奋地、专心致志地学习啊!这些学生在紧张的劳动中显示他们那积极活动的精神，他们变得跟以前完全两样了，因为他们的全部注意力都集中在如何更好地完成作业上。”(苏霍姆林斯基语)凡是给人以成功的乐趣的脑力劳动，总会收到发展学生能力的结果的。每一个学生都在尽量靠自己的努力去达到目的，不同的学生才能真正学到不同的数学。
我们实验数学的课堂教学，正在认真实践“算法多样化”的教学思想，把算法最优化与思维的个性化结合起来。但是，对不同的学生所需不同的学习时间，还很缺乏个别对待的共识和态度。教师预设的教案仍像幽灵一样操纵着教学同步划一的进程，尤其是肩负着一个地区、一所学校荣辱的观摩课，更容易异化为教案剧的表演；在平时课堂练习的时候，很少见到教师为不同的学生提供不同的习题，更多的是教师对每一道习题进行一般化的评点、反馈，又把学生独立练习的时间搞得支离破碎，最缺少的则是教师对需要帮助的学生进行针对性的个别指导。
有位实验教师很有创意地把学习者分为四种角色，即追赶者、跟随者、奔跑者和飞翔者，请学生自己给自己定位。开始全班都是追赶者或跟随者，一年后就诞生20位奔跑者和飞翔者了。在民主、开放的教育环境中，学生所焕发的潜能和展现的差异，令人吃惊。无论潜能还是差异，我们深切地体会到，它们都是亟待开发利用的教育资源。越是人数多的班级，越需要小组合作学习。请飞翔者或奔跑者担任小组的领头雁与援助者，让每一个学生都有归属感，不再无助；小组学习既拓展了课堂教学的时空，又加强了教学的个别化；因小组的精诚合作，课堂才不会再有被冷落或遗忘的角落。“在这种情况下，教师和学生的相互关心与相互信任相结合。学生就不会把教师单纯地看成严厉的监督者，也不会把评分当成一种棍棒。他可以坦率地对老师说：某某地方我没有做好，某某地方我不会做。他的良心是纯洁的，他不可能去抄袭别人的作业或者考试时搞夹带。他想树立起自己的尊严。”(苏霍姆林斯基语)
待到不同的学生真正能够学习不同的数学的时候，也许才能说：数学学习的主动权真正属于学生。到那时候，也许不会再有令人揪心的学业失败现象，把教师弄得心情焦躁、精疲力竭，而是感到更多的成就感，更深切地体验到自己在跟学生一起进步，一起发展。
《数学课堂的观察与思考》
本文链接地址：http://www.oyaya.net/fanwen/view/92967.html
◇ 福建省普通教育教学研究室 王 永
北师大版数学实验教材为我国新一轮基础教育教学改革提供了良好的课程环境：它大大加强了数学与现实生活的紧密联系，使数学成为儿童对其经验、常识的提炼与升华的有力工具；它采取“问题情境——数学模型——解释与应用”的叙述方式，使枯燥乏味的数学变得既有趣又有用；它以实现儿童的发展为宗旨，为他们提供了大量的观察、猜想、思考、操作、验证、自主探索与合作交流的机会，使学生收获自信，感受自尊。我们高兴地看到，学生喜欢学这样的数学，教师也喜欢教它。
为了改变学生的学习方式，实验老师们正在努力探索新的教学策略。先进的教育理念要转化为教学实践，不能没有相应的教学策略作为中介。一种教学策略的优劣，要看它是否考虑到学生的个体差异，是否确能使每个学生都得到充分的发展。教学研究的真谛，就在于寻找这样的教学策略。能够运用新的教学策略的课堂也确实在发生着可喜的变化：一言堂变成了群言堂，多了动感、生机和活力，还时有孩子的真知灼见，语惊四座，让人欣喜不已。但是，问题依然尖锐地摆在我们的面前：学生的个体差异该怎样得到关注?教学的个体化该如何得以加强?弱势学生群体的独立性、自主性的培养和发展，需要什么样的教育环境?如何才能实现“不同的人学习不同的数学”的课程目标?这些深层的、棘手的课题，我们还没有多少破解的良策。于是在对数学课堂的观察与反思中，不断生发出以下的追问。
一、是“说数学”重要，还是“做数学”重要
一位初中老师告诉我，他教初一时，有个一直为学不好数学而苦恼的女孩问他什么叫自然数。他没有说教，只写了一些数让这个孩子把自然数找出来，看她全找对了，就肯定她——已经懂了。这女孩既高兴又惊异地问他：“老师，难道不用背自然数的定义吗?”老师又肯定地回答：“不用。”接着，这个女孩要求老师给她补习一下分数的加减法，直到学会了才罢休。后来，这个女孩判若两人，仿佛治好了心病似的，对数学的恐惧感消失了，不到一年，她的数学成绩从不及格上升到优等生行列。我想，这位老师对学生最重要的也是最有价值的引导，就是“会做数学”比“会说数学”更重要。
从对数学课堂的大量观察中，发现一种普遍的现象：让学生说数学比做数学的机会多得多。这是否本末倒置?存在这种现象的主要原因，是不是在于我们的数学教学过于迷恋集体作业的方式了?呈现一个问题情境后，经常看到的是老师很快就请学生起来作答，这几个学生把问题解决了，似乎就相信全班学生都会了。这就是所谓集体作业的教学方式。老师们之所以喜欢这种教学方式，也许是它既能活跃课堂又便于控制教学节奏和进程吧。可是，苏霍姆林斯基曾经指出：这种方式容易造成“表面的积极性”和“一切顺利”的假象。在这样的方式下，那些中等学生和思维迟钝的学生是否也有独立思考、独立解决问题的体验，我们仍不得而知，我们有理由为他们感到不安。为此，苏霍姆林斯基的重要建议是：要把学生的独立的、个别的作业作为学习数学的基础。
有一节小学一年级数学课，让我难以忘怀。课题是：在学过二位数减一位数不退位减法的基础上，进一步学习二位数减一位数的退位减法。这位老师设计了一个人人都能做数学的情境，开始了师生共同探索的历程。课前，教师为每张课桌都准备了5张卡片，每张卡片上面分别写着2，3，7，-，=。上课伊始，教师就请同桌的两位同学分工合作：一位用这五张卡片摆出所有可能的二位数减一位数的算式，另一位动笔记下所摆的算式，准备汇报。孩子们都动起来了，而且兴致勃勃、热烈地讨论着，紧张地摆着、写着。然后，老师才根据学生的汇报和补充，在黑板上写下所有可能的六道算式：
27-3= 37-2= 73-2=
23-7= 32-7= 72-3=
老师由衷地赞赏学生所进行的探索，接着又提出挑战：我们班是不是每个同学都能独立地心算出这几道算式的结果?请大家把这些算式都抄在自己的本子上，并写出心算的结果；能够算出所有算式的，还要想想该怎样用口头语言表述你的算法步骤；遇到障碍的要找出难点，力争自己克服，或者翻阅课本寻求帮助。显然，老师是在激励孩子发挥自己的学习潜能，并让有差异的孩子去意识、去发现自己的学习目标，使每个学生都有事做。几分钟过去了，老师巡视了全班学生独立学习的情况后，回到讲台，拿起粉笔在黑板上醒目地写下以下两个算式：
32-7=35 32-7=25
“同一个算式，在我们同学中为什么会得出这样两个不同的结果?它们都对?都错?还是一个对一个错呢?”老师把全班学生的目光吸引到黑板上，以一连串的追问激发他们的认知冲突。“今天的挑战是二位数减一位数，如果遇到个位数字不够减时该怎么算?”老师挑明了探索的重点之后，要求小组展开讨论：辨别上述两种计算结果的正误，对的要说出算理，错的要找出错因，课堂顿时又活跃起来。
到了小组汇报时，孩子们踊跃而自信。老师把学生关于32-7=25的多种算法，一一展示在黑板上；并针对32-7=35的错误，请用竖式算法计算这道题的同学说一说竖式算法要注意哪些问题。
老师对课题作了简要的小结后，就让学生用自己喜欢或擅长的算法当堂练习……
这节课始终以做数学为主旋律贯串始终，老师少教学生反而多学，让人感到踏实、放心。老师不断创设有意义的问题情境或数学活动，激励学生自己去做数学，从做中学。在做数学中，人人都必须独立思考，都能够自主探究；在做数学中，人人都可能发现问题，产生合作交流的愿望。在这里，“做数学”真正成为师生互动的基础和纽带，成为课堂发展的原动力。从这里，我们还能体验到：改变“重教轻学”、“重说轻做”的倾向，采取“先学后教”、“先做后说”的教学策略是必要的、有效的。
二、数学课本，让不让学生自己先学
有位在小学、初中数学成绩蛮好的孩子，到了高中却感到学习数学有些困难，成绩在不断下降，于是来找我指点迷津。我猜测他对数学课本可能十分陌生，果然，他说数学课本他从来就没有读过。还说：“学数学就靠听课、记笔记、做习题。”他的问题在于没有学会独立学习，没有摆脱对老师的依赖。苏霍姆林斯基说过：学会学习首先要学会阅读，一个阅读能力不好的学生，就是一个潜在的差生。如果在小学里没有教会他阅读，他日后在学习中就会遇到无法克服的困难。
很多学生在小学没有解决好这个问题，初中也没有。在一堂初中的数学课上，老师讲授了30分钟新课后，留10分钟给学生做练习。老师看到一个学生还在看书，没做练习，就上前催他动笔。学生说：“刚才没听懂，想把书看懂了再做。”老师却撂下一句：“听都听不懂，还想看懂?那简直是奇迹。”可见，在传统观念的禁锢下，老师还有意无意地强化着学生对老师的依赖。数学课本是学生了解世界的窗口和工具，可是，数学老师总是有意无意地挡住这个窗口，甚至整节课也没让学生翻过书，没有意识到必须让学生主动去接触、使用这个工具。这样，学会学习又从何谈起?现代心理学研究表明：任何学习都是学习者自主建构的过程。在这个过程中，离不开学习主体与文本之间的交互作用。有意义的接受学习是自主建构，有意义的发现学习也是自主建构。前者的认知机制是同化，它引起认知结构的量变；后者的认知机制是顺应，它引起认知结构的质变。在学习过程中，既没有绝对的接受学习，也没有绝对的发现学习，总是两者相互交替、有机结合的。在这个过程中，建构主义强调学习者主动接触外界的信息(包括课本)并用自己已有的知识与经验去解读这些信息，从而赋予认识对象以心理意义。因此，课本必须成为学生自己赖以学会学习的文本；一个好的数学老师不是在教数学，而是激励学生自己去学数学。
许多老师都有这样的疑问：课本让学生先读了，还有什么可探究的?其实，建构与探究是学习过程中相辅相成的内外不同的两个维度：对外部世界的探究，在内部精神世界则是建构。探究性学习并不排斥对文本有意义的接受学习，相反，它很需要应用这种学习方式来扩充认知的背景，提高探究的起点，否则，像“四边形”名称之类的知识也要学生去猜想、发现，不仅浪费时间，而且毫无意义。在读书的过程中，要找出疑问进行质疑，对例题既要进行变式，还要解决问题，寻找新的算法，思考知识与知识之间、书本知识与现实生活之间的联系等等，这些无一不是探究性、创造性的学习，也无一不是源于课本又高于课本的建构活动。
让学生先学课本，旨在把独立学习引进教学过程，同时也意味着教师必须把“教”建立在学生“学”的基础之上，不能再充当面面俱到、照本宣科的单纯讲授角色。在学生先学的基础上，教师有针对性地创设问题情境或数学活动，引导学生在质疑、操作、实验、探索中消除假知，获得真知，丰富体验，求得发展，关键还是靠自身的教育底蕴与专业素养。例如，小学数学(人教版第六册)“长方形与正方形面积的计算”一课，学生先学之后，虽然知道“长方形的面积=长×宽”，但他们还是难以理解：长方形的面积与它的长和宽为什么有这样的关系?学生由此产生问题意识和解决这个问题的意向，渴望老师指导。有位老师就处理得很好，他让每个学生都参与到如下的活动中去：由同桌两位学生合作，从课前准备的12个小正方形(每个都表示1平方厘米面积单位)中，任意取出几个，把它们拼成一个长方形后，记下它的面积、长、宽等一组数据。要求每桌先至少拼出5个大小或形状不同的长方形，记下相应的每一组数据；接着集中观察这几组数据，看能否从中发现什么规律；然后再向小组或全班汇报、交流所得到的结论。经历这样的数学“再创造”和交流活动，不但抽象的长方形的面积公式已经具体地根植在儿童的经验之中，无需死记硬背了，而且儿童对发现真理的归纳方法也多了几分体验。
又如，小学五年级“长方体的初步认识”一课，有必要引导学生探究长方体的面、棱、顶点的个数之间的内在联系，思考从长方体面的个数与形状特征出发，如何算出长方体的棱(或顶点)的条(或个)数。寻找这个算法，既有挑战性，又有意义，更是学生经过努力或小组合作能够解决的，只有在探索事物内部规律性的活动中，学生的抽象思维能力才能得到培养和发展；只有抽象思维能力发展了，学生才能探究更复杂的规律，解决更复杂的实际问题。
数学的读写能力作为数学的一种基本能力，已经成为现代社会每个公民必须具备的基本素养；没有这种素养，便不可能自由地分享公共媒体与网络世界的丰富资源，也不可能进行有效的交流。让每个学生先对课本进行独立阅读、思考，进而对课本进行质疑、重组、超越，必须成为数学教学不可或缺的有机组成部分。实践证明：这么做了，不但能满足学生想成为探索者、研究者、发现者的强烈需要，而且正如一个学生说的“自从看懂了数学书，才发现自己并不差，所以又重新鼓起了学习的希望”那样，学生发现自己的学习潜能，找回自信与自尊，开启学习的内驱力，也有了更多的成功机会和可能。
三、不同的学生，怎样才能学习不同的数学
学生的差异是显著的。一位农村初中教师曾作过一次尝试：为了检验一个学期培养学生自主学习的实验成果，进一步了解学生的学习潜力，他布置初一学生的寒假作业，就是要求学生在家超前自学初中代数第二册的第一章——二元一次方程组(包括完成课本中的习题)。短短3周假期结束了，结果令他喜出望外：所教两个班共百余人，90％左右的学生都完成了任务，其中50％左右的学生超额完成，自学了两章，10％左右的学生已经学完了整本书；也有10％左右的学生自学还很困难，没有完成任务。这个结果表明：学生蕴藏着极大的学习潜能，也存在着巨大的个体差异。可想而知，学生对课堂教学的需要与期待也不会一样，甚至很不相同。在一所农村中学初二的数学课堂上，我遇到十几位落伍得无可救药的、因而教师干脆对他们放弃不管的学生。他们呆坐在教室的最后两排，显得一脸无奈和冷漠。我问其中一位学生：“听得懂吗?”“书能看懂吗?”他都摇了摇头。我的心情很沉重，因为对于他们的困境，我无能为力，爱莫能助。教育是成全每一个完整的人生的，可他们却只能在课堂上虚度时光，浪费生命。这一次经历，使我更加关注学生中弱势群体的学习状态。我注意到，即使在小学一年级的数学课堂里，学生参与学习的程度差异也是很明显的：一部分学生争先恐后地应答，表现得很出众，很活跃；但更多的学生或缺乏勇气，或不善言辞，或没有机会，而沦为听众或观众。一次，我悄悄地鼓励坐在身边的一个小女孩子举手争取发言，没想到邻座的男孩抢先说道：“她说她一举手，心脏就跳得厉害。”后来，这女孩终于举起了手，可惜老师没有看到。我突然悟到，这女孩此刻最需要的也许不是知识，而是一次战胜胆怯、超越自己的机会。
让不同的学生学习不同的数学。首先，要为每一个学生创造平等的参与学习的机会。我们之所以认为“先学后教”、“先做后说”很重要，是因为这些教学策略的实施，更可能为所有学生提供平等和有效的学习机会。其次，要创造人人都有自尊、都有安全感的课堂教学氛围，重要的是教师必须学会宽容和善待“差生”。为师者要懂得，就在这些“差生”中，很难保证不会产生出未来的牛顿、爱因斯坦、普希金、华罗庚、钱钟书……在有安全感的课堂里，所有的学生才能敞开心扉，发挥潜能，显露个性和才华。一位年轻的国家课程改革实验区的实验教师来信，高兴地告诉我，他任教的班，数学成绩仍然遥遥领先。在期末问卷调查中，有75％的学生认为数学学习是快乐的，这其中还有一个数学才考30多分的学生。我也特别为这位学生感到高兴和庆幸，因为保护一颗健康、好学、进取的心比什么都重要。
我们深感忧虑的是基础教育学业失败现象的严峻性。美国教育家布卢姆早就尖锐地揭露过，造成学业失败现象的深层原因，就在于以成绩的正态分布曲线为工具，对学生反复进行分等的教学制度本身。在这种分等的制度下，总有大约三分之一的学生因年复一年屡遭学业的挫折、失败，而厌学、逃学或辍学；他们不但心灵被伤害、性格被扭曲，甚至还会被逼到犯罪的边缘，导致严重的社会问题。这决不是危言耸听。某地为了改变教育的落后面貌，曾出台“末位下岗”的奇招：期末统考凡所教班级合格率不达标的教师一律被亮黄牌，被亮过两次黄牌的教师就得下岗。弄得人心惶惶，舞弊成风，结果适得其反。其实，因单纯追求合格率而衍生出弄虚作假现象，在前苏联早有前车之鉴，它曾是前苏联1984年规模巨大的教育改革要克服而没有克服的问题之一。要实现“不同的人学习不同的数学”这一“大众数学”的目标，必须同步进行考试改革，取消国家选拔和水平考试以外的一切统考及其评比，把考试权还给学校；要加强平时教学过程中，对不同学生的学习情感、态度、价值观与学习方式、策略、水平的个性化的考查与评价；对知识、技能、能力的考试，可以设目标水平不同的几种试卷，供学生自主选择，变考试为学生自我挑战、主动进取的机会。
苏霍姆林斯基通过对数学课堂的大量观察、分析，得出有如下五种不同的学生。第一种是无需任何帮助就能很容易地解答任何应用题，教师刚刚读完条件就举手要求回答。对于这些学生，教师还要挑选一些“超纲”的习题，给这些学生以力所能及的、但并不轻松的、要求紧张地动脑的工作；有时候，需要给这些学生布置这样的习题，使其不能独立地解答出来，但是教师给予的帮助是以稍加指点和提示为限。第二种能很好地完成作业，他们是靠付出劳动和用功学习而取胜的学生。第三种能在没有帮助的情况下完成中等难度的习题，但是对复杂的习题有时解不出来。第四种学生对应用题的理解很慢，解答也很慢。他们在一节课上所能完成的作业，要比第二种、第三种学生所做的少一半到三分之二，但是教师无论如何不要催促他们。第五种学生没有能力完成中等难度的习题。教师要为他们专门另选一些题目，始终只能指望他们在一节课上有所进步，哪怕一点点进步也好。“如果教师善于把学生引进一种力所能及的、向他们预示着并且使他们得到成功的脑力劳动中去，就连那些调皮捣蛋的学生也能多么勤奋地、专心致志地学习啊!这些学生在紧张的劳动中显示他们那积极活动的精神，他们变得跟以前完全两样了，因为他们的全部注意力都集中在如何更好地完成作业上。”(苏霍姆林斯基语)凡是给人以成功的乐趣的脑力劳动，总会收到发展学生能力的结果的。每一个学生都在尽量靠自己的努力去达到目的，不同的学生才能真正学到不同的数学。
我们实验数学的课堂教学，正在认真实践“算法多样化”的教学思想，把算法最优化与思维的个性化结合起来。但是，对不同的学生所需不同的学习时间，还很缺乏个别对待的共识和态度。教师预设的教案仍像幽灵一样操纵着教学同步划一的进程，尤其是肩负着一个地区、一所学校荣辱的观摩课，更容易异化为教案剧的表演；在平时课堂练习的时候，很少见到教师为不同的学生提供不同的习题，更多的是教师对每一道习题进行一般化的评点、反馈，又把学生独立练习的时间搞得支离破碎，最缺少的则是教师对需要帮助的学生进行针对性的个别指导。
有位实验教师很有创意地把学习者分为四种角色，即追赶者、跟随者、奔跑者和飞翔者，请学生自己给自己定位。开始全班都是追赶者或跟随者，一年后就诞生20位奔跑者和飞翔者了。在民主、开放的教育环境中，学生所焕发的潜能和展现的差异，令人吃惊。无论潜能还是差异，我们深切地体会到，它们都是亟待开发利用的教育资源。越是人数多的班级，越需要小组合作学习。请飞翔者或奔跑者担任小组的领头雁与援助者，让每一个学生都有归属感，不再无助；小组学习既拓展了课堂教学的时空，又加强了教学的个别化；因小组的精诚合作，课堂才不会再有被冷落或遗忘的角落。“在这种情况下，教师和学生的相互关心与相互信任相结合。学生就不会把教师单纯地看成严厉的监督者，也不会把评分当成一种棍棒。他可以坦率地对老师说：某某地方我没有做好，某某地方我不会做。他的良心是纯洁的，他不可能去抄袭别人的作业或者考试时搞夹带。他想树立起自己的尊严。”(苏霍姆林斯基语)
待到不同的学生真正能够学习不同的数学的时候，也许才能说：数学学习的主动权真正属于学生。到那时候，也许不会再有令人揪心的学业失败现象，把教师弄得心情焦躁、精疲力竭，而是感到更多的成就感，更深切地体验到自己在跟学生一起进步，一起发展。
《数学课堂的观察与思考》
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