关于抛物线的十个最值问题

nbsp;        X                                 t1+t2＝－(2ax0cosα-sinα)/a(cosα)2 ＝0………①                                    图6   t1t2＝(ax02-y0)/a(cosα)2 ＝－(m/2)2 ……………②  由①解出x0并代入②整理

得          y0＝      (secα)2＋       (cosα)2－       ……③  对③右边前两项利用基本不等式则得 y0≥2·     －      ＝（2ma-1)/4a. 于是,令                 (secα)2 ＝       (cosα)2,  得(cosα)2＝       .  因此, 当am≥1时,(y0)min＝（2ma-1)/4a ;         当0＜am＜1时, 记(cosα)2＝x , 则③式化为关于x 的函数式         y0＝f(x)＝    ·   ＋       ·x－        (0＜x≤1).  易证此函数是减函数, 故此时 (y0)min＝f(1)＝        .证毕.     定理10. 设AB是抛物线 y2＝2px的焦点弦, O为坐标原点, 则三角形OAB的面积的最小值为 p2/2 .                                                                                                 y    证明:(1)当AB⊥x轴时, 显然有 SΔAOB＝p2/2 ;                                          A  (2)当AB不垂直x轴时, 设AB: y＝k(x-p/2), 代                                 O        F                     x  入 y2＝2px并整理得 k2x2-(pk2+2p)x+k2p2/4=0. 于是                                    B  设A(x1,y1),B(x2,y2),则由弦长公式和韦达定理得:                                           图7                 │AB│＝   (1+k2 )[(x1+x2)2- 4x1x2]                                ＝                                                  ＝                   .  又顶点O到弦AB的距离                d＝                   .  故此时 SΔAOB＝   │AB│·d＝     ·               ·                                            ＝    ·             ＞       .  综合(1)、(2), 定理10获证 .        

《关于抛物线的十个最值问题(第4页)》