关于抛物线的十个最值问题

本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下:  定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.  证明:不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ=                   ,则显然有ρ≥    ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.  定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.  证明:设抛物线极坐标方程为 ρ=                 ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有           │AB│=ρ1+ρ2 =                 +                             =                       ≥ 2p =通径长,  其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕.  定理3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则              │MA│m in =                                                  证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2  = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.  定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点,  F是焦点,M是抛物线上的动点,则                                                 y            (│MA│+│MF│)min =a+p/2.                                          Q           M             A(a,b)  证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知                             O  F                 x           (│MA│+│MF│)min =│AQ│          = a-(-p/2)=a+p/2.证毕.                                                                  图1  定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2.  证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2·(y2-y1)……………(1)  于是利用(1)式由两切线方程                                                                 y                                      AM: y1y=p(x+x1),                                                                                                    A                   BM: y2y=p(x+x2),                                                                         M          F                 x     易得M的坐标(x,y)适合 :                                                                              B