小学数学应用题的研究 ──九年义务教育小学数学教材中应用题的内容及编排的基本情况

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二

册

求一个数比另一个数多(少)几的应用题。

提问题、填条件(加、减法)。

求比一个数多(少)几的数的应用题。

连续两问的应用题。

乘法一步应用题。

提问题(乘法)。

　

       

　

　

　

　

二

年

级

　

　

三

册

除法一步应用题。

求一个数是另一个数的几倍。

求一个数的几倍是多少的应用题。

提问题、填条件(除法)。

乘法和除法一步应用题的整理。

有余数的除法应用题。

加减复合(乘加、乘减)两步应用题。

连减的两步应用题。

加除、减除的两步应用题。

   

　

　

四

册

反叙的求比一个数多(少)几的数的应用题。

已知一个数的几倍是多少求这个数的应用题。

含有三个已知条件的两步应用题。

含有两个已知条件的两步应用题。

*含有两个已知条件的两步应用题(已知两数和与其中一数,求两数相差多少或倍数关系)。

   

　

三

年

级

　

五

册

乘法应用题和常见的数量关系。

除法应用题和常见的数量关系。(实际上是同一种数量关系。)

连乘应用题。

连除应用题。

归一应用题。

归总应用题。

   

　

六

册

用列含有未知数x的等式解答加减一步应用题。

用列含有未知数x的等式解答乘除一步应用题。

连乘应用题(未知量随着两个量的变化而变化)。

连除应用题(总量随着两个变量的变化而变化)。

简单的三步应用题。

三步应用题(两步应用题加一个条件)。

　

　

　

　

　

四

年

级

　

　

七

册

        一般的三步应用题(总结解答应用题的一般步骤和方法)。

归一、归总加条件的三步应用题。

有关计划与实际比较的三步应用题。

行程问题(三步)。

*四步应用题。

　

　

八

册

    列方程解比较容易的应用题(两步需要逆思考的)。

列方程解稍复杂的应用题(两步需要逆思考的)。

　

　

列方程解三步应用题(相遇问题)。

列方程解含有两个未知数的应用题。

用方程和算术方法解应用题的比较。

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

五

年

级

　

　

　

　

　

九

册

分数乘法应用题。

分数除法应用题。

分数乘、除法应用题的对比。

　

　

连乘的分数乘法应用题。

连除的分数除法应用题。

乘除复合的分数应用题。

一般的分数、小数应用题。

稍复杂的求一个数的几分之几是多少的应用题。稍复杂的已知一个数的几分之分是多少求这个数的应用题。

稍复杂的分数乘法和除法应用题的对比。

工程问题。

　

   

　

　

十

册

求一个数是另一个数的百分之几的应用题。 稍复杂的求一个数是另一个数的百分之几的应用题。

稍复杂的已知一个数的百分之几是多少求这个数的应用题。

比例尺

用比例解应用题。

　

稍复杂的比例应用题。

教学实践表明，这样的编排结构基本符合把数学的逻辑顺序与儿童的心理发展顺序相结合的原则，易教易学，减轻了学生学习的难度，有利于提高教学质量，培养学生的能力。

但是，教学实践中，也反映出这一编排结构的一些问题。主要是有些册应用题的难度和份量偏大，例如，反叙的一步应用题需要学生进行逆思考，低年级进行教学比较困难。其次，二、三步应用题的变化条件教学有困难。在学生刚刚理解某一种应用题的数量关系和解法后，就立刻让学生变化例题中的某一条件，使之成为一道新的应用题，教学难度较大。相应的练习也有难度。

2．结构特点及理论依据

上述应用题的编排结构具有如下特点。

（1）加强应用题的内在联系及应用题与其他知识的联系

这种编排结构加强了应用题之间的内在联系及应用题与其他知识间的联系，使整个应用题部分层次分明、系统性强，既相对独立又能与其他有关知识很好地联系在一起。

唯物辩证法认为，物质世界是由无数互相联系、互相依赖、互相制约、互相作用的事物所形成的统一整体。数学是现实世界数量关系和空间形式的反映，因此，数学中的各部分知识也是相互联系着的。应用题作为小学数学的一部分，它的数量关系是有内在联系的，应用题与其他知识的联系也是非常紧密的。因此，在编排应用题时，既要加强应用题的纵向联系，也要加强应用题本身及与其他知识间的横向联系。

应用题之间有着密切的联系。一般地说，复合应用题是由几个简单应用题组合而成的；根据学生的心理特点、应用题的难易程度，教学应从一步应用题扩展到两步应用题，再从两步应用题扩展到三步应用题。复合应用题与简单应用题相比，不仅已知条件增多了，而且数量关系也复杂了。学生掌握了简单应用题、复合应用题的解答方法以及简单应用题与复合应用题之间的联系和区别，又较容易地掌握更多步数的应用题的解法，不但可以加深对应用题结构的理解，而且通过知识的迁移，培养学生思维的灵活性及创造性。加法应用题和减法应用题，乘法应用题和除法应用题，既是相互对立，又是相互联系、相互转化的。对这些应用题进行比较，使学生容易理解和区分这些应用题的数量关系，更好地掌握解答方法。

应用题与小学数学其他知识的联系也是非常紧密的。例如应用题与四则运算的意义。从某种程度上说，绝大部分应用题都是四则运算在实际中的应用。学生很好地理解四则运算的意义，是学习简单应用题的重要基础。因此教材在学生学习了一种运算的意义以后，接着就教学相应的应用题。又如简单的分数应用题就是在分数的意义和一个数乘以分数的意义的基础上进行教学的。

（2）遵循儿童的认知发展规律

这种编排结构符合儿童认知发展的规律，从感性认识逐步上升到理性认识，既有助于学生理解和掌握新知识，又有助于发展学生的思维能力。

儿童心理学研究表明，小学生的思维发展正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。儿童的认知规律一般是：动作、感知→表象→概念→概念系统(系统知识)。儿童认知发展的第一阶段主要是靠感觉和动作探索周围世界。儿童的年龄越低，越需要借助直观和操作活动来丰富学生的感性经验，教材注意安排学生的操作活动，注意通过直观使学生理解应用题的数量关系，在此基础上再引导学生进行分析、综合、比较、抽象概括，逐步形成数学的概念，使学生理解应用题的数量关系、掌握解答应用题的方法。根据这一规律，低年级首先安排了图画应用题、表格应用题、图文应用题，再出现文字应用题。低年级的应用题大部分都安排了操作活动，中、高年级中比较难理解的文字应用题也注意结合线段图出现或引导学生画线段图等，通过这些直观手段和操作活动来帮助学生分析数量关系、确定算法。例如，在教学求两数相差多少的应用题“学校养了12只白兔，7只黑兔。白兔比黑兔多几只？”时，让学生先摆出12只白兔，7只黑兔，使白兔和黑兔一一对应。引导学生说出是白兔跟黑兔比多少；白兔多，黑兔少；白兔可以分成哪两部分，理解从12只白兔中去掉和黑兔只数同样多的部分，剩下的部分就是白兔比黑兔多的只数，所以要用减法计算。通过操作和分析，学生在大脑中形成关于这种应用题中较大数与较小数的数量关系的表象，理解为什么用减法计算，从而提高学生分析和解答应用题的能力。

（3）把应用题的逻辑顺序与儿童的心理发展顺序适当地结合起来

这种编排结构的最大特点是把应用题的逻辑顺序与儿童的心理发展顺序适当地结合，形成合理的教材结构，并使教材的知识结构转化为学生的认知结构。现代教学论认为：教科书编排的合理结构是把学科的逻辑顺序与学生的心理发展顺序相结合的结构。任何科学都有其自身的系统，每门学科的体系必须考虑到这门科学本身的系统，形成这门学科的知识结构。这样才能使学生从客观事物的发生发展中去认识它的本质。但是，教材的系统性不光是学科的系统性，教材的份量、难易程度和体系等都要符合学生的心理特点。只有把二者统一起来，才能形成合理的教材结构。学生的认知结构是从教材的知识结构转化来的，有了合理的教材结构学生才有可能建立良好的认知结构。如前所述，复合应用题一般是由简单应用题组合而成的。一般是按照从一步应用题到两步应用题，再到三步应用题的顺序编排。但是有些一步应用题的难度超过了比较容易的两步应用题，考虑到儿童的认知心理特点，把稍复杂的一步应用题放在二年级下学期，而没有完全按照应用题本身的逻辑顺序进行编排；另外，考虑到有些应用题与其他知识的关系，只有学习了这部分知识，才能安排相应的应用题，比如分数和百分数应用题(这时一般的三步应用题已经学完)，也不能完全按照从一步到两步再到三步的顺序编排。因此，需要把直线排列和螺旋排列相结合，以

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