谈谈计算教学的改革

（3）亿以内数和整数（亿以上的数）的组成。

学生是在高年级学习亿以内的数和整数（亿以上的数）的组成，这时，学生掌握知识的水平和抽象思维能力的水平都有相当大的提高。教材适应学生这样的状况，仅用数位顺序表帮助学生理解和掌握亿以内的数和整数（亿以上的的数）的组成。

（二）注意将数的概念与相应的计算结合起来进行教学。

数的概念与相应的计算结合进行教学的优越性。

学生的认知水平和思维水平都是随着知识的积累和相应的训练而提高的。教材对数概念的编排是按照学生和年龄特征和学习数学和过程而设计的。数概念是按照10以内、20以内、100以内、万以内……的方式编排的，计算也是按照10以内数的计算、100以内数的计算、万以内数的计算……的方式来编排。这样，先学数的概念，再学相应的计算。既复习了数的概念，又使计算的理论基础非常突出。两者紧密地结合起来，使学习过程能充分运用分析、综合、比较、抽象、概括等思维过程，还须合理、敏捷、灵活地进行思考，有利于促进学生思维能力的发展。，同时，还能将数概念与相应的计算相互沟通起来，使学生对它们有整体性的认识，可以形成一个知识系统；对于学生形成合理的认知结构是十分有益的。

运用直观手段和实际操作活动将数概念和计算结合起来。

小学生（特别是中、低年级学生）学习数学时基本上都要借助于直观手段和实际操作活动；这是由学生的年龄特征和认识水平所决定的。根据心理学研究：小学生学习比较抽象的知识一般都有这样的规律：“动作、感知—表象（通过语言）—概念”。教材按照这个原理来编写教学内容。例如，20以内的进位加法，先要复习10以内数的组成，特别是哪两个数能组成10更为重要。教学时，让学生边实际操作，边对照相对应的算式进行计算，利用操作过程说明算理。又如，100以内的加、减法，都要利用100以内组成和实际操作活动相结合来教学的。由于是在一年级下学期学习100以内的加、减法，学生的年龄小、思维水平比较低；所以，教材将这部分内容分成：整十数加、减整十数，两位数加一位数、整十数（不进位），两位数减一位数、整十数（不退位），两位数加一位数（进位）、两位数减一位数（退位），两位数加两位数，两位数减两位数等。教学这些内容时都要将数的组成与实际操作活动结合起来，并且把操作过程与算式的计算过程进行对照，使具体形象的操作过程与抽象的计算过程一一对应起来，便于学生理解算理和掌握计算的方法。

（三）利用口算来说明笔算的算理。

口算是人们运用已掌握的数学知识和方法，不借助于任何工具仅依靠思维和语言进行计算，并直接能得出结果的一种计算方法。它是一种在学习和实际中用处很大的计算方法，口算是笔算、估算和其他计算方法的基础。口算在加、减法与乘、除法中所起的基础作用是不完全相同的。

口算加减法是说明加、减法笔算算理的重要手段。

在小学数学中，加、减法笔算是用竖式计算的。竖式的计算方式是一般的计算方式；不管是几位数相加、减，都可以用竖式直接来计算。在竖式中数位排列整齐、对称，两个数对位直观、明了，计算过程的逻辑顺序清晰、明确，计算过程和步骤历历在目，便于复查和检验，进位（包括连续进位）与退位（包括连续退位）都可以在竖式上直接操作。使用的工具简单、易找。竖式的计算方式是任何其他方法难以替代的。

在教学100以内的加、减法前，先要教学一系列口算作准备。这些口算内容有：整十数加、减整十数，两位数加一位数、整十数（不进位），两位数减一位数、整十数（不退位），两位数加一位数（进位），两位数减一位数（退位）。笔算两位数加两位数是在口算整十数加整十数、两位数加一位数和整十数的基础上进行教学的。这时着重解决竖式计算中如何对位、从个位加起、满十进1的问题。由于读写数都是从高位起，口算也是从高位算起，所以学生在开始进行竖式计算时，也往往容易从高位算起。为了解决这个问题，教材采用了不进位加法与进位加法分别出现的编排方法。教学时，先复习口算加法34＋2，然后说明也可以用笔算写成竖式。以此说明只有相同单位的数才能相加，突出几个一和几个一相加；并且让学生理解对位的道理，以及从个位加起的必要性。这样，学生能比较容易地掌握笔算加法的计算法则。笔算两位数减两位数是在口算整十数减整十数、两位数减一位数和整十数的基础上教学的。教材的编排方式与两位数加两位数相同，着重解决退位问题。

笔算万以内加、减法是在口算整百、整千加减法、几百几十加几十与几百几十加几百（不进位、进位）、几百几十减几十与几百几十减几百（不退位、退位）的基础上进行教学的。学习这些口算是要突出相同单位上的数相加减的道理，同时要说明十位上的数相加满十要向百位上进1和十位上的数不够减是要从百位上借1。这样，笔算时能比较容易理解对位、进位和退位的道理，使学生能较好地理解和掌握加法的计算法则。

口算乘除法是理解笔算乘除法算理的必要途径。

笔算一位数乘二、三、四位的乘法是在口算一位数乘整十、整百、整千数和肯内乘法的基础上进行教学的。教材在安排笔算12×3时，先教学12×3的口算方法，突出3乘10是1（个十）×3＝3（个十）＝30，再出笔算方法，使学生明白这两种方法的思路是一样的。然后简化中间过程，使学生初步明确一位数乘两位数先乘个位数，再乘十位数的计算法则。一位数乘三位数是一位数乘两位数的引伸和发展。

笔算乘数是两位数的乘法是在口算一位数乘两位数、乘整百整十数和整十数乘一位数、两位数以及一位数乘多位数的基础上进行教学的。教材在编排笔算是两位数的乘法时，先复习乘数是一位数的乘法和用整十数乘，为学生理解笔算乘法的算理作准备。教学24×13时，先用3乘24，这是一位数乘两位数乘法。再用10乘24，就要用到用整十数乘的口算。这两步计算的思路和方法都是跟口瞬息万变一样的。然后把两部分结果合起来，就得到题目的答案。两位数乘三位数是两位数乘两位数的引伸和发展。

笔算除数是位数的除法是口算一位数除整十、整百、整千的数（商也是整十、整百、整千的）和一位数除两位数，以及一位除几百几十或几千几百的数的基础上教学的。教材在编排教学笔算42÷2的内容时，先让学生思考口算时应该怎样想，让学生摆一摆小棒，复习口算除法的思考过程，为教学笔算除法作准备。教学时，对照摆小棒的过程分步演算（说明先算什么，再算什么）让学生了解笔算除法与口算除法的思路和顺序是一样的。一位数除二、三、四位数的笔算除法是可以类推出来的。除数是两位数的笔算除法，其编排方式和教学过程是类似的。

关于计算方面内容教学要求的简要分析

（一）按照不同年级、不同的内容，教学要求的层次分明。

教材对于计算教学要求首先是按照不同年级学生的年龄特征和心理特点来安排的，特别是低年级学生，时间相差几个月，掌握知识的程度和能力的发展都有较大的差异。所以教材在规定计算的教学要求时，每学期按单元结束时和期末分别列出平均错误率和速度两项指标的标准。有的内容单元结束时和学期末就有变化，有的内容本学期末的教学要求就是小学阶段的教学要求。例如，100以内口算加减法，单元结束时，平均错误率为10％以内速度为绝大多数达到每分做5题；本学期末，平均错误率为7％以内，绝大多数达到每分做7题；下学期末，平均错误率为6％，速度为绝大多数达到每做8题（也是小学阶段的要求）。又如，万以内笔算加减法，学期末的平均错误率为8％，速度为绝大多数达到每分做1、2题，同时也是小学阶段的教学要求。

（二）按照不同年级、不同的内容，教学要求的程度比较合适。

计算的教学内容是为今后学习、实际生活、科学研究和生产服务的，而不是为了比赛或别的什么服务的。所以教材的计算内容是按照对今后学习、实际生活、科学研究和生产有用的程度来确定教学要求。教学要求的程度还要按照学生的年龄特征、认知水平和掌握知识与各种能力的发展水平来确定。同时，还要按照小学生心理和生理的特点，如手、眼、脑配合的协调性和口算与书写速度的配合等。教材对于小学阶段最基础口算的教学要求确定得比较合适的，这是教学大纲规定需要达到熟练掌握的教学要求。例如，10以内加减法口算，在学期末平均错误率为5％以内、速度为绝大多数达到每分做10题；20以内加减法口算，在一年级下学期末平均错误率为3％以内、绝大多数达到每分做12题，同时也是小学阶段的最终的教学；表内乘除法口算，在二年级上学期末平均错误率为4％以内、绝大多数达到每分做10题，同时也是小学阶段的最终的教学要求。教材对于大纲规定需要达到比较熟练掌握的计算内容的教学要求；例如，100以内口算加减法在二年级上学期末平均错误率为6％、绝大多数达到每分做8题；两位数加、减两面三刀位数和几百几十加、减整十、整百数的口算在二年级上学期末平均错误率为6％以内、绝大多数达到每分做6题；一位数乘整十、整百、整千的数和两位数（每位乘积不满十）以及相应的除法口算，在三年级上学期末平均错误率为6％以内、绝大多数达到每分做5题；……对于笔算的教学要求还更低一些。

（三）教学要求是符合统计规律的、是科学的。

教材以最基本口算（10以内的口算加减法、20以内的口算加减法）的教学要求为基准，其他的教学要求是按照概率统计规律计算出来的。例如，100以内的口算加减法，平均正确率为94％以上（即平均错误率为6％以内），绝大多数达到每分做12题。这个标准是这样得来的：如果以口算35＋47＝82为例，它需要进行两步20以内口算加法得到答数。20以内口算加减法和平均错误率为3％以内（即平均正确率为97％以上）。按照概率统计的方法，100以内口算加法的平均正确率应该为：0.97×0.97＝0.9409≈0.94，这正是教材所规定的100以内口算加减法平均正确率的标准。20以内口算加减法要求绝大多数每分做8题，100以内口算加减法要求绝大多数每分达到8题，虽然两者之间有些差距，这是考虑到20以内加减法口算已经相当熟练的缘故。又如，万以内笔算加减法规定平均正确率为92％以上（即平均错误率为8％以内），它需要进行四次20以内加法的计算而得到答数，平均正确率为：0.97×0.97×0.97×0.97≈0.88529≈0.89，这跟教材规定的有些差距，这是考虑到20以内加减法的笔算要比口算的正确率要高，而且熟练程度又有了提高的缘故。万以内笔算加减法要求绝大多数达到每分做1、2题，由于学生要列竖式，还要笔算，同时要照顾大多数学生的水平，故教学要求不能规定得太高。由此可见，最基本的口算的平均错误率是按照大多数水平来规定的，其他计算的平均错误率是按照概率统计规律而确定的。计算的速度是按照不同的年级、训练时间的长短和计算内容的难易程度而确定的。因此，这些教学要求是合理的和科学的。

关于数与计算教学改革的几点思考

（一）现行义务教育教材中数与计算编排的优点。

1．重视从学生生活实际或实践活动中引入数的概念。

教材对于数的概念基本上是从学生的实际生活中引入的。例如，10以内数概念的都是从学生的实际生活或能接触到的事物中引入的。11～20和100以内数概念是让学生通过实际操作活引入的。万以内的数是分两个部分引入的。先让学生数小方块，认识10个一百是一千，再利用计数器认识三位数；然后利用绘画纸认识10个一千是一万，再利用算盘认识四位数。亿以内的数是将算盘和数位顺序表相结合来认识的。

2．数的概念、数的组成与相应的计算结合得比较好。

教材在安排计算的内容时，都是按照学习数概念与相应的数的组成编排计算内容的。这样的编排方式是先学数概念和数的组成，接着学习相应的计算内容。学习计算内容时，既充分应用了刚学习的数概念和数的组成，又复习了上述内容。教学内容一环扣一环，容易形成知识系统。

3．计算的教学分成五个循环是合适的。

教材在编排计算教学内容时，要考虑学生接受能力和知识、能力发展的状况。所以，一、二年级安排了10以内的加减法、20以内的加减法，表内乘、除法和万以内的加法和减法；三年级安排了乘数、除数是一位数的乘法、除法，乘数、除数是两位数的乘法、除法；四年级安排了亿以内的加法和减法，乘数、除数是三位数的乘法和除法，整数和整数四则运算。由此可见，教材的大数目的认识和计算都放在四年级，这样既符合学生认知发展水平，又便于教与学。

4．小数、分数安排两个循