《分解因式》中考热点透视

分析：根据完全平方公式a²±2ab+b²= (a±b)²的特点，若 表示了a²+b²的话，则有a=3x，b=1，所以，缺少的一项为±2ab=±2（3x）·1=±6x，此时，9x² + 1±6x=(3x±1)²；如果认为9x² + 1表示了2ab+b²的话，则有a=4.5x²，b=1，所以，缺少的一项为a²=（4.5x）²= 20.25x⁴，此时，20.25x⁴+9x² + 1=(4.5x²+1)².

从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式. 注意到9x²=(3x)²，1=1²，所以，保留二项式9x² + 1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是-1或者 - 9x²，此时有9x² + 1-1=9x²=(3x)²，或者9x² + 1-9x²=1².

综上分析，可知所加上的单项式可以是±6x、20.25x⁴、-1或者 - 9x².

四、数形结合型

例7（2002陕西）如图1，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)把余下的部分剪拼成一个矩形(如图2),通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式,则这个等式是(  D   )

  A．a²－b²＝(a十b)(a—b)

  B．(a＋b)²＝a²＋2ab 十b²

  C．(a－b)²＝a²－2ab＋b²

  D．(a十2b)(a－b)＝＝a²＋ab －2b²

分析：图1表示的是a²－b²，图2表示的是(a十b)(a—b)，两者面积相等，所以a²－b²＝(a十b)(a—b).

故选A．

例8（2002年山东省济南市中考题）请你观察图3，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是_____________．

图3

分析：图中所表示的整个正方形的面积是x²，两个小正方形的面积分别是y²与（x-y）²，利用这些数据关系，结合图形便可以写出以下公式：

x²-2xy+y²  = (x-y)²，或者x²-y² = (x+y)(x-y).

当然，在没有限定的情况下，也能写成乘法公式.

根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公式，是“数形结合思想”的具体体现.

例9（2003山西）有若干张如图4所示的正方形和长方形卡片，